Инверсия импульсного отклика фильтра.

Инверсия импульсного отклика фильтра.

Введение

Основное предназначение деконволюции (deconvolution) – восстановление настоящей формы сигнала, несущего информацию об исследуемом физическом либо технологическом процессе, явлении природы и т.п., после его преломления при регистрации какой-нибудь линейной системой - измерительным трактом прибора (аппаратной либо приборной функцией) либо каналом связи. Естественно, что для восстановления нужны сведения о свойствах искажающей системы Инверсия импульсного отклика фильтра., и сначала, об импульсном отклике системы либо его частотной передаточной функции. Для выполнения деконволюции реализуются фильтры, частотные свойства которого обратны частотной характеристике искажающих систем. Построение таких фильтров не всегда может быть. Так, нереально в принципе вернуть в сигнале частоты, которые были на сто процентов подавлены, а при восстановлении частотных составляющих Инверсия импульсного отклика фильтра., ослабленных до уровня шумов, сразу происходит существенное усиление дисперсии шумов, в каких нужный сигнал может вполне затеряться.

Совместно с тем, деконволюция либо оборотная свертка употребляется и для решения других задач обработки данных. Так, в геофизике она применяется для сжатия сигналов с целью увеличения временного либо пространственного разрешения результатов измерений Инверсия импульсного отклика фильтра.. В грави- и магниторазведке с внедрением деконволюции выполняются перерасчеты не нормальных полей вниз. В ядерной геофизике способы деконволюции являются основными при количественной интерпретации результатов измерений, чему содействует принцип суперпозиции ядерно-физических полей.

При неведомых частотных свойствах искажающей системы речь может идти о слепой деконволюции (blind deconvolution). Слепая деконволюция - намного Инверсия импульсного отклика фильтра. более непростая неувязка, которая не имеет общего решения и разрабатывается с учетом определенных априорных сведений для специфичных приложений.

Понятие деконволюции.

При довольно сложном физическом представлении во временной (координатной) области деконволюция ординарна для осознания в частотном представлении. Допустим, что в какой-нибудь регистрирующей системе происходит резонансное поглощение энергии и сдвиг по Инверсия импульсного отклика фильтра. фазе определенного гармонического колебания в составе входного сигнала, к примеру, преобразование гармоники sin w0t ® 0.5 sin (w0-p/4). Соответственно, для восстановления начальной формы сигнала операция деконволюции должна выполнить усиление данной гармоники в выходном сигнале в 2 раза и выполнить оборотный сдвиг фазы на p/4. Для одной гармоники выполнение таковой Инверсия импульсного отклика фильтра. операции труда не представляет. Но практические задачки деконволюции существенно труднее, потому что требуется, обычно, восстановление полного диапазона начального сигнала, имеющего непрерывный нрав.

Определение деконволюции. Если для прямой свертки дискретного сигнала x(k) c импульсным откликом h(n) линейной системы (фильтра) имеем уравнение:

y(k) = h(n) ③ x(k) ó H Инверсия импульсного отклика фильтра.(z)X(z) = Y(z), Y(z) = yk zk, z = exp(-jj),

то задачка деконволюции в общей форме - определение сигнала на входе линейной системы по значениям выходного сигнала, т.е. снятие реакции (импульсного отклика) системы на сигнал и восстановление начальной формы сигнала, что очень животрепещуще, к примеру, для регистрирующих Инверсия импульсного отклика фильтра. систем:

X(z) = Y(z)/H(z) = Y(z)H-1(z) ó y(k) ③ h-1(n) = x(k), (13.1.1)

где индексом "-1" символически обозначена передаточная функция оператора оборотного фильтра H-1(z) = 1/H(z), т.е. оператора деконволюции, инверсного прямому оператору свертки (импульсному отклику системы). Соответственно, при оборотном z-преобразовании получаем оператор Инверсия импульсного отклика фильтра. деконволюции:

H-1(z) = 1/H(z) ó h-1(n). (13.1.2)

Разумеется, что если имеет место H(z)H-1(z) = 1, то при оборотном z-преобразовании этого выражения мы обязаны иметь:

H(z)H-1(z) = 1 ó h(n) ③ h-1(n) = do(n), (13.1.3)

где do(n) - импульс Кронекера. При всем этом поочередная свертка сигнала x(k) с оператором Инверсия импульсного отклика фильтра. системы h(k) и оператором деконволюции h-1(k) будет эквивалентна свертке сигнала x(k) с импульсом Кронекера, что не должно поменять форму сигнала x(t).

При z = exp(-jj) все изложенное вправду и для спектрального представления операторов. Пример инверсии оператора через спектральное представление приведен на рис. 13.1.1 (начальный оператор Инверсия импульсного отклика фильтра. hn ® спектральная плотность H(ω) ® инверсная спектральная плотность H-1(ω) ® инверсный оператор h-1n на исходном интервале отсчетов).

Рис. 13.1.1.

Особенности деконволюции. Выражение (13.1.2) позволяет сделать некие выводы об особенностях выполнения деконволюции.

При ограниченной импульсной реакции h(n) инверсный оператор h-1(n) в общем случае не ограничен. Так, к примеру, если импульсная реакция представлена Инверсия импульсного отклика фильтра. нормированным диполем h(n) = {1,a} ó (1+az) = h(z), то имеем:

H-1(z) = 1/(1+az) = 1-az+a2z2-a3z3+ ....

h-1(n) = {1, -a, a2, -a3,....}.

Это вправду фактически для всех операторов свертки, энергия которых на каких-то ограниченных участках головного частотного спектра близка к нулевой. При инверсии спектральной функции таких операторов Инверсия импульсного отклика фильтра. на этих участках появляются резкие спектральные пики, которые при оборотном преобразовании Фурье дают медлительно затухающие функции операторов. Пример такового явления приведен на рис. 13.1.2.

Отсюда следует, что для четкого выполнения деконволюции нужно располагать нескончаемо длинноватым инверсным оператором фильтра. Фактически, деконволюция производится, если инверсный оператор довольно стремительно затухает Инверсия импульсного отклика фильтра. и может быть ограничен. Но внедрение усеченных операторов приводит к возникновению определенной погрешности деконволюции, величину которой следует держать под контролем.

Рис. 13.1.2.

Заметим также, что передаточные функции систем, обычно, имеют низкочастотный нрав. Инверсия операторов таких систем всегда связана с усилением больших частот, что приводит к высочайшим коэффициентам усиления инверсными фильтрами Инверсия импульсного отклика фильтра. дисперсии помех, что может приводить к потере полезного сигнала посреди усиленных шумовых флюктуаций.

Не считая того, резвое затухание оператора деконволюции является нужным, но еще не достаточным условием реализации деконволюции.

Устойчивость фильтров деконволюции. Функция H(z) в выражении (13.1.2) имеет особенные точки - нули функции, которые становятся полюсами функции H-1(z) = 1/H Инверсия импульсного отклика фильтра.(z) и определяют устойчивость инверсного фильтра. Для того чтоб фильтр деконволюции был устойчивым, ряд 1/H(z) должен сходиться, т.е. полюса функции должны находиться вне единичного круга на z-плоскости (снутри круга при использовании символики z-1).

Многочлен H(z) порядка N может быть разложен на N обычных сомножителей - биномов (диполей):

H Инверсия импульсного отклика фильтра.(z) = (a-z)(b-z)(c-z)...., (13.1.4)

где а, b, с,… - корешки полинома. Воззвание передаточной функции:

H-1(z) = (13.1.5)

Если любой из диполей функции (13.1.4) является минимально-фазовым диракоидом, т.е. корешки диполей находится вне единичного круга на z-плоскости и модули нулевых членов диполей всегда больше последующих за Инверсия импульсного отклика фильтра. ними первых членов (в этом случае: |а|>1, |b|>1, |с|>1), то функция H(z) также является минимально-фазовым диракоидом. Максимум энергии импульсного отклика минимально-фазового диракоида сосредоточен в его исходной части и последовательность отсчетов представляет собой затухающий ряд. При всем этом функция 1/H(z) также будет представлять собой передаточную функцию минимально Инверсия импульсного отклика фильтра.-фазового оператора, обеспечивающую выполнение условия (13.1.3), а ее оборотное преобразование - сходящийся ряд устойчивого фильтра. Так, к примеру, фильтр, реализующий передаточную функцию (13.1.5), в самой общей форме может быть выполнен в виде включенных поочередно фильтров, любой из которых имеет передаточную функцию последующего типа (для первого фильтра):

H1-1(z) = 1/(a-z) = (1+z/a+z Инверсия импульсного отклика фильтра.2/a2+...)/a.

Отсюда, равно как и конкретно из выражения (13.1.5), следует также, что чем больше значения модулей корней фильтра (далее от единичного круга полюс фильтра), тем резвее затухает инверсный оператор.

Пример 1. Оценить возможность инверсии оператора свертки hn = {0.131, 0.229, 0.268, 0.211, 0.111, 0.039, 0.009, 0.001}, N = 7.

Проверка стойкости оператора инверсного фильтра в среде Mathcad приведена на Инверсия импульсного отклика фильтра. рис. 13.1.3. Модули всех корней больше 1, полюсы инверсного полинома находятся за пределами единичной окружности на z-плоскости, и инверсный оператор должен быть устойчив.

На рисунке показан также оператор деконволюции, который получен оборотным преобразованием Фурье передаточной функции Hi(w). Оператор нескончаем, но затухает довольно стремительно, что обеспечивает высшую точность деконволюции при использовании ограниченного Инверсия импульсного отклика фильтра. числа членов оператора фильтра (устанавливается юзером по данной точности).

Рис. 13.1.3. Пример устойчивого инверсного фильтра.

Пример 2. Сдвинем вышеприведенный оператор на одну позицию на право и для сохранения той же энергии оператора примем h0 = 0.001. Требуется оценить устойчивость инверсного оператора свертки hn = {0.001, 0.131, 0.229, 0.268, 0.211, 0.111, 0.039, 0.009, 0.001}, N = 7.

Рис. 13.1.4. Пример неуравновешенного инверсного фильтра

Результаты проверки на устойчивость нового оператора Инверсия импульсного отклика фильтра. деконволюции приведены на рис. 13.1.4. При схожей форме операторов свертки модули спектров операторов фактически не отличаются. Но за счет сдвига по фазе данного оператора относительно первого (на рис. 13.1.3) корешки его z-полинома перетерпели существенное изменение, а модуль 1-го из корней меньше 1. И хотя вычисленный оператор деконволюции также Инверсия импульсного отклика фильтра. представляет собой ряд с конечной энергией, но условие (13.1.3) не производится, о чем наглядно свидетельствует итог свертки hk * h-1k.

Воззвание недиракоидных функций. Если H(z) - реверсоид, т.е. корешки составляющих его диполей находятся снутри и на единичном круге в z-плоскости, то устойчивое воззвание H(z) является антиимпульсом (с отрицательными степенями z Инверсия импульсного отклика фильтра.) и для его использования нужно располагать "будущими" значениями входного сигнала.

Если диполи функции (13.1.4) представляют собой и диракоиды, и реверсоиды, то воззвание будет центроидом и определяется полным рядом Лорана:

H-1(z) = ...+h-2z-2+h-1z-1+h0+ h1z1+h2z2+ ...,

т.е. оператор инверсного фильтра является двухсторонним и не Инверсия импульсного отклика фильтра. непременно симметричным, как мы обычно рассматривали ранее двухсторонние операторы.

Пример 3. Передаточная функция фильтра: H(z) = 1-2z. Инверсная функция H-1(z) = 1/(1-2z). Частотные диапазоны функций приведены на рис. 13.1.5.

Рис. 13.1.5.

Полюс функции zp = 1/2 и находится снутри единичного круга на z-плоскости.

Перепишем выражение для инверсного фильтра в последующем виде Инверсия импульсного отклика фильтра.:

H-1(z) = -(1/2z) [1+1/2z+1/(2z)2+...].

Это выражение является разложением в ряд по степеням 1/z и сходится к кругу радиусом 1/2 при z → ¥. Коэффициенты при степенях 1/z являются, соответственно, коэффициентами инверсного фильтра с координатами (-n), т.е. фильтр оперирует с "будущими" отсчетами входного сигнала (см. рис. 13.1.5).

Инверсия импульсного отклика фильтра Инверсия импульсного отклика фильтра..

Вычисление коэффициентов инверсного фильтра по значениям каузального (однобокого) оператора h(n) может быть проведено на базе выражения (13.1.3):

h-1(k)h(n-k) = do(n), (13.2.1)

зачем довольно развернуть его в систему n-уравнений при n = 0, 1, 2, … , k ≤ n:

n = 0: h-1(0)h(0) = 1, h-1(0) = 1/h(0).

n = 1: h-1(0)h(1)+h-1(1)h(0) = 0, h-1(1) = h-1(0)h(1) / h(0).

n = 2: h Инверсия импульсного отклика фильтра.-1(0)h(2)+h-1(1)h(1)+h-1(2)h(0) = 0, h-1(2) = (h-1(0)h(2)+h-1(1)h(1))/h(0), и т.д.

Продолжая поочередно, можно вычислить хоть какое количество значений коэффициентов инверсного фильтра. Рекуррентная формула вычислений:

h-1(n) = (1/h0) h-1(k)h(n-k). (13.2.2)

Если фильтр деконволюции устойчив и ряд h-1(n) сходится, то возникает возможность Инверсия импульсного отклика фильтра. ограничения количества членов ряда с определенной ошибкой восстановления начального сигнала. Метрика приближения Е (квадратичная норма разности) определяется выражением:

Е2 = [do(n) - h(n) ③ h-1(n)]2. (13.2.3)

Ошибка восстановления начального сигнала возникает со сдвигом на длину оператора фильтра деконволюции и проявляется на интервале длины прямого оператора.

Пример инверсии оператора фильтра hn = {0.219, 0.29, 0.257, 0.153, 0.061, 0.016, 0.003}.

Рис. 13.2.1.

Полином Инверсия импульсного отклика фильтра. по zn: H(z) = Sn hn zn.

Модули корней полинома: zn = {2.054, 2.054, 2.485, 2.485, 1.699, 1.699}.

Модули корней больше 1, инверсный фильтр устойчив и, судя по значениям корней (довольно значительно отличаются от 1), стремительно затухает.

Двенадцать значений оператора по (13.2.2): h-1(n) = {4.56, -6.033, 2.632, 0.417, -0.698, -0.062, 0.267, -0.024, -0.11, 0.051, 0.018, -0.019, 0.004}.

Значения прямого и инверсного оператора фильтра приведены на рис. 13.2.1.

Значения свертки прямого оператора с инверсным Инверсия импульсного отклика фильтра. при длине N=10 инверсного фильтра и метрика приближения: sn={1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.004, 0.006, 0.004, 0.002, <0.001, …}. E=0.0086.

На рис. 13.2.2 приведены графики абсолютных значений концевой ошибки деконволюции при разной длине N оператора деконволюции.

Рис. 13.2.2.


intersect-corresponding-by-workerid.html
intertekst-referat.html
intervali-nominalnih-razmerov.html