Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность

Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность

ТЕМА ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ.

Вопросы:1. Систематизация оценок

Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная возможность.

Рассредотачивание хи-квадрат

Рассредотачивание Стьюдента

Рассредотачивание Фишера

Систематизация оценок

Квантиль - значение, которое данная случайная величина не превосходит с фиксированной вероятностью.

Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная возможность

В ряде задач требуется не только лишь отыскать для параметра подходящее численное значение, да и Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность оценить его точность и надежность. Требуется знать - к каким ошибкам может привести подмена параметра его точечной оценкой и с какой степенью убежденности можно ждать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы?

Такового рода задачки в особенности животрепещущи при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значимой мере случайна Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность и приближенная подмена на может привести к суровым ошибкам.

Чтоб дать представление о точности и надежности оценки , в математической статистике пользуются так именуемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть для параметра получена из опыта несмещенная оценка . Мы желаем оценить вероятную при всем этом ошибку. Назначим некую довольно огромную Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность возможность (к примеру, либо ) такую, что событие с вероятностью можно считать фактически достоверным, и найдем такое значение , для которого

(1)

Тогда спектр фактически вероятных значений ошибки, возникающей при подмене на θ ̃, будет ; огромные по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью

Перепишем (1) в виде:

. (2)

Равенство (2) значит, что с вероятностью неведомое значение Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность параметра попадает в интервал

(3)

При всем этом стоит отметить одно событие. Ранее мы не один раз рассматривали возможность попадания случайной величины в данный неслучайный интервал. Тут дело обстоит по другому: величина не случайна, зато случаен интервал . Случаем его положение на оси абсцисс, определяемое его центром ; случайна вообщем и длина интервала Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность , потому что величина рассчитывается, обычно, по опытным данным. Потому в этом случае лучше будет толковать величину не как возможность «попадания» точки в интервал , как возможность того, что случайный интервал накроет точку (набросок).

Рис.

Возможность принято именовать доверительной вероятностью, а интервал - доверительным интервалом. Границы интервала : и именуются доверительными границами.

Перейдем к вопросу Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность о нахождении доверительных границ и .

Пусть для параметра имеется несмещенная оценка . Если б нам был известен закон рассредотачивания величины , задачка нахождения доверительного интервала была бы очень ординарна: довольно было бы отыскать такое значение , для которого

.

Затруднение заключается в том, что закон рассредотачивания оценки находится в зависимости от закона Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность рассредотачивания величины и, как следует, от его неведомых характеристик (а именно, и от самого параметра ).

Чтоб обойти это затруднение, можно применить последующий грубо приближенный прием: поменять в выражении для неведомые характеристики их точечными оценками. При сравнимо большенном числе опытов (порядка ) этот прием обычно дает удовлетворительные по точности результаты.

В качестве Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность примера разглядим задачку о доверительном интервале для математического ожидания.

Пусть произведено независящих опытов над случайной величиной , свойства которой -математическое ожидание и дисперсия - неопознаны. Для этих характеристик получены оценки:

; . (4)

Требуется выстроить доверительный интервал , соответственный доверительной вероятности , дляматематического ожидания величины .

При решении этой задачки воспользуемся тем, что величина представляет собой сумму независящих идиентично Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность распределенных случайных величин , и, согласно центральной предельной аксиоме, при довольно большенном ее закон рассредотачивания близок к нормальному. На практике даже при относительно маленьком числе слагаемых (порядка ) закон рассредотачивания суммы можно приближенно считать обычным. Будем исходить из того, что величина распределена по нормальному закону. Свойства этого закона - математическое ожидание идисперсия Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность - равны соответственно и . Представим, что величина нам известна, и найдём такую величину для которой

.возможность (5)

Применяя формулу (5), выразим в левой части (5) через нормальную функцию рассредотачивания

. (6)

где - среднее квадратическое отклонение оценки .

Из уравнения

находим значение :

, (7)

где - функция, оборотная , т. е. такое значение аргумента, при котором нормальнаяфункция рассредотачивания равна .

Дисперсия , через которую выражена Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность величина , нам в точности не известна; в качестве ее приблизительного значения можно пользоваться оценкой (4) и положить приближенно:

. (8)

Таким макаром, приближенно решена задачка построения доверительного интервала, который равен:

, (9)

где определяется формулой (7).

Чтоб избежать при вычислении оборотного интерполирования в таблицах функции , комфортно составить специальную таблицу (см. табл. 1), где приводятся значения величины

зависимо от Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность . Величина определяет для обычного закона число средних квадратических отклонений, которое необходимо отложить на право и на лево от центра рассеивания для того, чтоб возможность попадания в приобретенный участок была равна .

Через величину доверительный интервал выражается в виде:

.


invalidi-vsledstvie-zabolevaniya-poluchennogo-v-period-voennoj-sluzhbi-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-pravo.html
invalidnost-eto-ne-prigovor-eto-vizov-kak-stat-strojnoj-uspeshnoj-privlech-vnimanie-muzhchin-i-poluchat-udovolstvie.html
invazionnie-bolezni-sobak-i-koshek.html