Интерполяционный полином в форме Ньютона

Интерполяционный полином в форме Ньютона

Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что xi+1-xi=h=const, т.е. xi=x0+ih, то интерполяционный полином можно записать в форме Ньютона. 1-ая интерполяционная формула Ньютона имеет вид

где , а выражения вида - конечные разности:

- разность первого порядка;

- разность второго порядка;

- разность k-го порядка.

2-ая интерполяционная формула Интерполяционный полином в форме Ньютона Ньютона записывается в виде

где

Интерполяционные полиномы в форме Ньютона комфортно использовать если точка интерполирования находится поблизости начала (1-ая формула Ньютона) либо конца таблицы (2-ая формула Ньютона). Эти полиномы увлекательны тем, что любая частичная сумма первых m слагаемых есть интерполяционный полином m-1 степени, построенный по m первым (для первой формулы) либо последним Интерполяционный полином в форме Ньютона (для 2-ой формулы) табличным точкам. Потому интерполяционные полиномы Ньютона комфортно использовать при поочередном увеличении степени интерполяционного многочлена.

Пусть, к примеру, для вычисления значения f(x) некой точке x вычислен полином Pn(x) по n+1 точкам x0,x1,...xn , а потом для уточнения этого значения привлечен очередной узел xn Интерполяционный полином в форме Ньютона+1, тогда для вычисления Pn+1(x) по n+2узлам при помощи формулы Лагранжа необходимо поновой пересчитывать все слагаемые, а в первой формуле Ньютона требуется вычислить только одно слагаемое

по величине которого можно, кстати, найти и необходимость предстоящего роста степени интерполяции.

Ошибка приближения функции интерполяционным полиномом это разность Rn(x)=f(x)-Pn(x Интерполяционный полином в форме Ньютона). можно получить последующие выражения для погрешности интерполяции:

для первой формулы Ньютона

для 2-ой формулы Ньютона

где  - некая точка интервала [x0,xn] либо [x-n,xn].

ПРИМЕР.Дана таблица значений теплоёмкости вещества зависимо от температуры Cр =f(T).

Таблица 5.3

x (T)
Y (Cp) 52.88 65.61 78.07 99.24

Выстроить интерполяционный многочлен Ньютона для данных значений функции. n Интерполяционный полином в форме Ньютона=3; h=100.

Составим таблицу конечных разностей функции.

x y y 2y 3y
52.88 12.73 -0.27 8.98
65.61 12.46 8.71
78.07 21.17
99.24

После выполнения преобразований получим интерполяционный многочлен вида:

Полином имеет третью степень и дает возможность вычисления с помощью отысканной формулы значения y для неведомого x .

Если для описания табличных данных будет выбрана функция с наименьшим количеством коэффициентов (m<n), что нередко Интерполяционный полином в форме Ньютона встречается на практике, то уже нельзя подобрать коэффициенты функции так, чтоб функция проходила через каждую узловую точку. В наилучшем случае она будет проходить каким - или образом меж ними и очень близко к ним. Таковой метод описания табличных данных именуется аппроксимацией, а функция - аппроксимирующей.

Если аналитическое выражение функции f(x Интерполяционный полином в форме Ньютона) непонятно либо очень трудно, то появляется фактически принципиальная задачка: отыскать такую эмпирическую формулу

, (5.22)

значения которой при x=xi может быть не много отличались бы от опытнейших данных yi (i=1, 2, … , n).


interpretaciya-astrologicheskoj-simvoliki-stranica-7.html
interpretaciya-cvetnih-par-po-lyusheru.html
interpretaciya-gruppi-subtestov-blizkih-po-faktornomu-principu.html