Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля)

Точность интерполяционной квадратурной формулы можно значительно повысить методом оптимального выбора узлов . Задачка получения более четкой квадратурной формулы формулируется последующим образом:

выстроить квадратурную формулу

, (8)

которая при данном была бы четкой для полиномов может быть большой степени. Направьте внимание, что в формуле (8) для удобства изложения нумерация узлов начинается с . Построение таковой формулы заключается в Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля) соответствующем выборе коэффициентов и узлов . Такие формулы есть. Они именуются квадратурными формулами наивысшей алгебраической степени точности либо квадратурными формулами Гаусса – Кристоффеля либо квадратурными формулами Гаусса. Эти формулы точны для хоть какого алгебраического многочлена степени .

Таким макаром, для всех существует, при этом единственная, квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля) вида(8).Узлы этой формулы совпадают с корнями ортогонального на с весом полинома степени , а коэффициенты определяются формулой:

Узлы и надлежащие им веса квадратурной формулы Гаусса рассчитываются заблаговременно для разных весовых функций и сводятся в таблицу. Приведем пример квадратурной формулы Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса-Лежандра

Квадратурная формула Гаусса-Лежандра употребляется для Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля) вычисления
интеграла с единичной весовой функцией =1 на конечном отрезке , т.е. интеграл вида

Этот интеграл линейной подменой переменных

приводится к виду

=

На отрезке ортогональны с весом =1 полиномы Лежандра

.

Узлы квадратурной формулы в данном случае выбираются равными корням полинома Лежандра . Квадратурная формула имеет вид

В таблице в качестве примера приведены узлы и коэффициенты для этой формулы при Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля) использовании 2-ух, 3-х и 4 узлов.

Таблица – Узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса-Лежандра

Число узлов Значение улов Значение весовых коэффициентов
0,577350
0 0,774597
0,339981 0,861136 0,652145 0,347855

Разглядим данные способы на примере.

Вычислим . Этот интеграл сводится к табличному и он равен , его значение:

Разобьем отрезок интегрирования [0,1] на 5 равных частей (5 частичных отрезков). Количество узлов – 6.В нашем случае a = 0, b Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля) = 1. Вычислим h.

h = 0, 2.

Интегрируемая функция

Вычислим значения функции в узлах: 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.

Для оценки погрешности вычислим производные 1, 2 и 4 – го порядка:

Наибольшее по абсолютной величине значение на отрезке [0,1] производные добиваются в точке x = 0.Соответственно, .

Вычислим интеграл способом левых прямоугольников.

За узлы интегрирования возьмем точки: 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8. h = 0,2.

Погрешность интегрирования оценивается выражением Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля):

Вычислим интеграл способом правых прямоугольников.

За узлы интегрирования возьмем точки: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1. h = 0,2.

Вычислим интеграл способом трапеций.

За узлы интегрирования возьмем точки: 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1. h = 0,2.

Погрешность способа оценивается выражением:

Разобьем отрезок интегрирования [0,1] на 10равных частей (n = 10), вычислим интеграл способом трапеций при h1 = 0, 1 и оценим приобретенный итог по правилу Рунге.

Погрешность вычисления интеграла оценивается выражением Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля):

Вычислим интеграл по квадратурной формуле интерполяционного типа.

Возьмем 3 узла: 0; 0,5; 1.Функция f(x) на отрезке [0, 1] заменяется параболой (n = 2). Квадратурная формула интерполяционного типа, построенная на узлах 0; 0,5; 1 совпадает с формулой Симпсона.h = 0,5.

Погрешность интегрирования оценивается выражением:

Вычислим интеграл способом средних прямоугольников.

За узлы интегрирования возьмем середины частичных отрезков, т. е точки: 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9. Вычислим Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля) значения функции в узлах интегрирования.

Для этого разобьем отрезок интегрирования [0,1] на 10 равных частей.

h1 = 0, 1. h =2*h1 = 0, 2.

Погрешность оценивается выражением:

Вычислим интеграл способом Симпсона.

Отрезок интегрирования [0,1] разбивается на 2n = 10 равных частей.
h =h1=0, 1.

Погрешность интегрирования способом Симпсона оценивается выражением:

Вычислим интеграл по формулам Гаусса – Кристоффеля.

При n =2:

При n Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля) = 3:

При n = 4:


interpretacii-istorii-risordzhimento.html
interpretacii-zadacha-etoj-knigi-pomoch-chitatelyu-sostavit-obshee-predstavlenie-o-psihoanalize-kak-osnove-psihodinamicheskoj.html
interpretaciya-astrologicheskoj-simvoliki-stranica-18.html